Сторона квадрата равна a. В данный квадрат вписан квадрат таким образом, что его вершины делят сторону данного квадрата в отношении 9:4. Найди площадь вписанного квадрата.

Давайте решим эту задачу пошагово. **1. Обозначения и понимание задачи** * Пусть сторона большого квадрата равна \( a \). * Вершины вписанного квадрата делят стороны большого квадрата в отношении 9:4. Это означает, что если сторона большого квадрата \( a \), то отрезки, на которые делит вершина сторону большого квадрата, равны \( \frac{9}{13}a \) и \( \frac{4}{13}a \), так как \( 9 + 4 = 13 \). **2. Нахождение стороны вписанного квадрата** * Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных стороной большого квадрата и стороной вписанного квадрата. Катеты этого треугольника имеют длины \( \frac{9}{13}a \) и \( \frac{4}{13}a \). * По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (стороны вписанного квадрата) равен сумме квадратов катетов: \[ s^2 = \left( \frac{9}{13}a \right)^2 + \left( \frac{4}{13}a \right)^2 \] * Раскрываем скобки: \[ s^2 = \frac{81}{169}a^2 + \frac{16}{169}a^2 \] * Складываем дроби: \[ s^2 = \frac{97}{169}a^2 \] * Извлекаем корень, чтобы найти длину стороны вписанного квадрата \( s \): \[ s = \sqrt{\frac{97}{169}a^2} = \frac{\sqrt{97}}{13}a \] **3. Нахождение площади вписанного квадрата** * Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Обозначим площадь вписанного квадрата как \( S' \). Тогда: \[ S' = s^2 = \left( \frac{\sqrt{97}}{13}a \right)^2 \] * Возводим в квадрат: \[ S' = \frac{97}{169}a^2 \] **4. Итоговый ответ** * Площадь вписанного квадрата равна \( \frac{97}{169}a^2 \). **Ответ:** Площадь вписанного квадрата равна \( \frac{97}{169}a^2 \).