Сторона оснований правильной треугольной пирамиды 2см. Боковое ребро составляет 45 градусов со стороной основания. Найдите высоту?

1. Шаг 1: Найдем радиус описанной окружности основания.

Основание - правильный треугольник со стороной 2 см. Радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной треугольника \( a \) формулой:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

В нашем случае \( a = 2 \) см, следовательно:

\[ R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

2. Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Боковое ребро составляет 45 градусов со стороной основания, значит, высота пирамиды равна радиусу описанной окружности, так как \( \tan(45^\circ) = 1 \). Следовательно:

\[ h = R \cdot \tan(45^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Однако, если боковое ребро составляет 45 градусов с плоскостью основания, то:

\[ h = R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

В условии задачи не указано, с чем именно составляет угол 45 градусов боковое ребро. Предположим, что боковое ребро составляет угол 45 градусов с радиусом, проведенным к вершине основания, тогда высота пирамиды равна радиусу основания.

Радиус описанной окружности основания, как было вычислено ранее:

\[ R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Тогда высота пирамиды:

\[ h = R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Но, если имеется ввиду, что боковое ребро наклонено под углом 45 градусов к стороне основания, тогда:

Расстояние от основания высоты до стороны основания равно половине радиуса описанной окружности, т.е. \( \frac{R}{2} \). Тогда высота равна половине радиуса, умноженной на тангенс 45 градусов, что равно \( \frac{R}{2} \).

Половина радиуса равна:

\[ \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Но, все таки, в условии сказано про угол со стороной основания. Если предположить, что имеется ввиду угол бокового ребра с плоскостью основания, то:

\[ h = R \cdot \tan(45^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Рассмотрим другой подход. Найдем медиану основания \( m \) (она же высота и биссектриса):

\[ m = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см} \]

Тогда радиус равен \( \frac{2}{3} \) медианы:

\[ R = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3}\sqrt{3} \text{ см} \]

Высота, как было сказано ранее, равна радиусу:

\[ h = R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Допустим, угол 45 градусов - это угол между боковым ребром и высотой пирамиды, тогда половина стороны основания равна высоте, т.е. 1 см, что не верно.

Ещё вариант: предположим, что угол 45 градусов — это угол между боковым ребром и медианой, тогда:

Расстояние от вершины основания до основания высоты пирамиды - \( \frac{1}{3} \) медианы, то есть:

\[ \frac{1}{3}m = \frac{1}{3}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Тогда высота равна этому расстоянию, так как угол 45 градусов.

В данном случае я предполагаю, что угол 45 градусов - это угол между боковым ребром и высотой, а основание высоты пирамиды попадает в центр основания. Тогда сторона основания правильного треугольника равна высоте.

Из теоремы Пифагора:

\[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \] \[ h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 \] \[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \] \[ h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Сторона равна 2 см, тогда:

\[ h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см} \]