Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллело- грамма.

Для нахождения площади параллелограмма воспользуемся формулой:

$$S = a cdot b cdot sin(\alpha)$$, где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, $$\alpha$$ - угол между ними. В нашем случае известна только одна сторона ($$a = 8.1$$ см) и диагональ, а также угол между диагональю и стороной ($$30^\circ$$).

1. Рассмотрим треугольник, образованный стороной параллелограмма, диагональю и другой стороной параллелограмма. Пусть сторона параллелограмма равна $$a = 8.1$$ см, диагональ равна $$d = 14$$ см, а угол между ними $$\alpha = 30^\circ$$. Обозначим неизвестную сторону параллелограмма как $$b$$.
2. Применим теорему косинусов для этого треугольника: $$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\alpha)$$ В нашем случае угол $$\alpha$$ - это угол между стороной $$a$$ и диагональю $$d$$. Нам нужно найти угол между сторонами $$a$$ и $$b$$, поэтому обозначим угол между стороной $$a$$ и $$b$$ как $$\beta$$. Тогда угол между стороной $$a$$ и диагональю $$d$$ равен $$30^\circ$$. Угол $$\beta$$ можно найти, используя тот факт, что сумма углов в параллелограмме равна $$360^\circ$$, а углы прилежащие к одной стороне, в сумме дают $$180^\circ$$. Таким образом, если угол между сторонами $$a$$ и $$b$$ равен $$\beta$$, то угол между стороной $$a$$ и диагональю $$d$$ равен $$30^\circ$$.
3. Подставим известные значения в теорему косинусов: $$14^2 = 8.1^2 + b^2 - 2 \cdot 8.1 \cdot b \cdot cos(30^\circ)$$ $$196 = 65.61 + b^2 - 16.2 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$b^2 - 8.1\sqrt{3}b - 130.39 = 0$$
4. Решим квадратное уравнение относительно $$b$$: $$b^2 - 8.1\sqrt{3}b - 130.39 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (8.1\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130.39) = 196.83 + 521.56 = 718.39$$ $$b = \frac{8.1\sqrt{3} \pm \sqrt{718.39}}{2} = \frac{14.03 + 26.8}{2} \approx \frac{40.83}{2} \approx 20.42$$ (берем только положительное значение)
5. Теперь, когда мы знаем обе стороны ($$a = 8.1$$ см и $$b = 20.42$$ см), необходимо найти угол между ними. Угол между диагональю и стороной равен $$30^\circ$$, тогда угол между сторонами можно найти как $$\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$. Но можно еще найти угол по теореме косинусов: $$cos(\beta) = \frac{a^2 + b^2 - d^2}{2ab} = \frac{8.1^2 + 20.42^2 - 14^2}{2 \cdot 8.1 \cdot 20.42} = \frac{65.61 + 416.9764 - 196}{330.804} = \frac{286.5864}{330.804} \approx 0.866$$ $$\beta = arccos(0.866) \approx 30^\circ$$
6. Площадь параллелограмма равна: $$S = a \cdot b \cdot sin(\beta) = 8.1 \cdot 20.42 \cdot sin(30^\circ) = 8.1 \cdot 20.42 \cdot 0.5 = 82.701 \approx 82.7 \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь параллелограмма равна приблизительно 82.7 см².