Сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Найдите: а) |AB⃗+BC⃗|; б) |AB⃗−BC⃗|; в) |½AB⃗|; г) |BA⃗−BC⃗|.

Используем правило сложения векторов и то, что все стороны равностороннего треугольника имеют длину a.

1. а) По правилу треугольника AB⃗ + BC⃗ = AC⃗, поэтому |AB⃗ + BC⃗| = |AC⃗| = a.

2. б) Угол между AB⃗ и BC⃗ равен 120°: угол между BA⃗ и BC⃗ равен 60°, а AB⃗ = −BA⃗. По теореме косинусов для разности векторов:

   |AB⃗ − BC⃗|² = a² + a² − 2a² cos 120° = 3a², поэтому |AB⃗ − BC⃗| = a√3.

3. в) Длина вектора при умножении на число умножается на модуль этого числа: |½AB⃗| = ½|AB⃗| = a/2.

4. г) Угол между BA⃗ и BC⃗ равен 60°. Тогда |BA⃗ − BC⃗|² = a² + a² − 2a² cos 60° = a², откуда |BA⃗ − BC⃗| = a.

Ответ: а) a; б) a√3; в) a/2; г) a.