Сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Найдите: а) \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|\); б) \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|\); в) \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|\); г) \(|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|\).

Пусть сторона треугольника равна \(a\). Тогда все его стороны имеют длину \(a\), а углы равны \(60^\circ\).

1. По правилу сложения векторов:

   \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), поэтому \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=a\).

2. Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \(60^\circ\). По формуле длины суммы:

   \[|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{a^2+a^2+2a^2\cos60^\circ}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3.\]

3. Так как \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\), получаем:

   \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

   Тогда

   \[|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|^2=4a^2+a^2-4a^2\cos60^\circ=3a^2,\]

   следовательно, \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|=a\sqrt3\).

4. \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\), поэтому

   \[\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\]

   Следовательно, \(|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=a\).

Ответ: а) \(a\); б) \(a\sqrt3\); в) \(a\sqrt3\); г) \(a\).