24. Сторона равностороннего треугольника АВС равна 1. Точка М – середина его стороны АС. Найдите: a) AB · AC; б) АВ · ВС; в) АC · BМ; г) BC · BM; д) АВ· ВМ.

Давай разберем по порядку. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1, значит, все его стороны равны 1. Точка M – середина стороны AC, следовательно, AM = MC = 0.5. Нужно найти скалярное произведение векторов.

a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot cos(\angle BAC) = 1 \cdot 1 \cdot cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\)

б) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |AB| \cdot |BC| \cdot cos(\angle между AB и BC)\). Чтобы найти угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), нужно вектор \(\overrightarrow{BC}\) перенести параллельно так, чтобы его начало совпадало с началом вектора \(\overrightarrow{AB}\). Тогда угол между ними будет равен \(180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Следовательно, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 1 \cdot cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} = -0.5\)

в) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BM}\):

Для нахождения скалярного произведения \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BM}\) выразим вектор \(\overrightarrow{BM}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)

Тогда \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} \cdot (-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = -1 \cdot 1 \cdot cos(60^\circ) + \frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\)

г) \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BM}\):

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} \cdot (-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = -1 \cdot 1 \cdot cos(120^\circ) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(60^\circ) = -(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75\)

д) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM}\):

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} \cdot (-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -1^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(60^\circ) = -1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} = -0.75\)

Ответ: a) 0.5; б) -0.5; в) 0; г) 0.75; д) -0.75

Ты молодец! У тебя всё получится!