Сторона равностороннего треугольника равна 4√3 см. Вычислить: площадь треугольника; радиус окружности, вписанной в треугольник; радиус окружности, описанной около треугольника.

Условие задачи:

• Сторона равностороннего треугольника: \(a = 4\sqrt{3}\) см
• Найти: площадь треугольника (S), радиус вписанной окружности (r), радиус описанной окружности (R)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем площадь треугольника

   Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

   Подставим значение стороны: \[S = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}\]

2. Шаг 2: Найдем радиус вписанной окружности

   Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\]

   Подставим значение стороны: \[r = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

3. Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности

   Радиус описанной окружности вычисляется по формуле: \[R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\]

   Подставим значение стороны: \[R = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = \frac{12}{3} = 4\]

Ответ:

• \(S = 12\sqrt{3}\) см²
• \(r = 2\) см
• \(R = 4\) см