Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, является также медианой и высотой.

Биссектриса делит сторону, к которой проведена, пополам. Так как биссектриса является и высотой, то она делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. В нем гипотенузой является сторона равностороннего треугольника, равная $$10\sqrt{3}$$, а один из катетов равен половине стороны равностороннего треугольника, то есть $$5\sqrt{3}$$.

Биссектриса (она же высота и медиана) является вторым катетом в этом прямоугольном треугольнике. Обозначим её длину через $$h$$.

По теореме Пифагора: $$h^2 + (5\sqrt{3})^2 = (10\sqrt{3})^2$$.

Тогда $$h^2 = (10\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{3})^2 = 300 - 75 = 225$$.

Следовательно, $$h = \sqrt{225} = 15$$.

Таким образом, длина биссектрисы равностороннего треугольника равна 15.