1. Сторона ромба равна 7, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 3. Найдите площадь этого ромба. 2. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinB=4/15, AB=45. Найдите АС. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgB=11/8, BC=24. Найдите АС. 4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, М— середина стороны АB, AB=48, BC=36. Найдите СМ. 5. Точки М и № являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС соответственно. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О, AN=24, CM=9. Найдите СО. 6. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=5, DC=9. Площадь треугольника АВС равна 56. Найдите площадь треугольника BCD. 7. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и № соответственно, АВ=33, АС=27, MN=18. Найдите АМ.

1. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны равно половине высоты ромба. Следовательно, высота ромба равна $$3 \cdot 2 = 6$$. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: $$7 \cdot 6 = 42$$. 2. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла B равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB: $$\sin B = \frac{AC}{AB}$$. Отсюда, $$AC = AB \cdot \sin B = 45 \cdot \frac{4}{15} = 12$$. 3. В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла B равен отношению противолежащего катета AC к прилежащему катету BC: $$\tan B = \frac{AC}{BC}$$. Отсюда, $$AC = BC \cdot \tan B = 24 \cdot \frac{11}{8} = 33$$. 4. Пусть M – середина AB, тогда AM = MB = 48/2 = 24. Треугольник ABC прямоугольный, поэтому можно найти AC по теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{48^2 - 36^2} = \sqrt{2304 - 1296} = \sqrt{1008} = 12\sqrt{7}$$. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Пусть MC = x. Тогда по теореме косинусов для треугольника MBC: $$MC^2 = MB^2 + BC^2 - 2 \cdot MB \cdot BC \cdot \cos B$$. $$x^2 = 24^2 + 36^2 - 2 \cdot 24 \cdot 36 \cdot \frac{36}{48}$$. $$x^2 = 576 + 1296 - 1296 = 576$$. $$x = \sqrt{576} = 24$$. 5. По свойству медиан треугольника, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $$AO:ON = 2:1$$ и $$CO:OM = 2:1$$. Из условия $$AN = 24$$, тогда $$AO = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$$ и $$ON = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$$. Аналогично, из условия $$CM = 9$$, тогда $$CO = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$$ и $$OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$$. Следовательно, CO = 6. 6. Площадь треугольника BCD можно найти, зная площадь треугольника ABC и отношение площадей этих треугольников. Так как треугольники ABC и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины B, то отношение их площадей равно отношению их оснований AC и DC. $$AC = AD + DC = 5 + 9 = 14$$. Тогда $$\frac{S_{BCD}}{S_{ABC}} = \frac{DC}{AC} = \frac{9}{14}$$. $$S_{BCD} = S_{ABC} \cdot \frac{9}{14} = 56 \cdot \frac{9}{14} = 4 \cdot 9 = 36$$. 7. Так как прямая MN параллельна стороне AC, то треугольники ABC и MBN подобны. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}$$. $$\frac{18}{27} = \frac{BM}{33}$$. $$BM = \frac{18 \cdot 33}{27} = \frac{2 \cdot 33}{3} = 2 \cdot 11 = 22$$. Тогда $$AM = AB - BM = 33 - 22 = 11$$. Ответы: 1. Площадь ромба равна 42. 2. AC = 12. 3. AC = 33. 4. CM = 24. 5. CO = 6. 6. Площадь треугольника BCD равна 36. 7. AM = 11.