Сторону AB треугольника $\triangle ABC$ продолжили за вершину B и выбрали на луче AB точку $A_1$ так, что точка B — середина отрезка $AA_1$. Сторону BC продолжили за вершину C и отметили на продолжении точку $B_1$ так, что C – середина $BB_1$. Аналогично, продолжили сторону CA за вершину A и отметили на продолжении точку $C_1$ так, что A – середина $CC_1$. Найдите площадь треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $\triangle ABC$ равна 2.

Question

Вопрос: $Фото задания: Сторону AB треугольника $\triangle ABC$ продолжили за вершину B и выбрали на луче AB точку $A_1$ так, что точка B —…$ Фото задания

Сторону AB треугольника $\triangle ABC$ продолжили за вершину B и выбрали на луче AB точку $A_1$ так, что точка B — середина отрезка $AA_1$. Сторону BC продолжили за вершину C и отметили на продолжении точку $B_1$ так, что C – середина $BB_1$. Аналогично, продолжили сторону CA за вершину A и отметили на продолжении точку $C_1$ так, что A – середина $CC_1$. Найдите площадь треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $\triangle ABC$ равна 2.

Accepted Answer

Дано:

$\triangle ABC$

B — середина $AA_1$

C — середина $BB_1$

A — середина $CC_1$

$S_{\triangle ABC} = 2$

Найти: $S_{\triangle A_1B_1C_1}$

Решение:

Пусть $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{c}$. Тогда $\vec{AA_1} = 2\vec{AB} = 2\vec{b}$. Следовательно, $\vec{A_1} = \vec{A} + \vec{AA_1} = \vec{A} + 2\vec{b}$.

Аналогично, $\vec{BB_1} = 2\vec{BC} = 2(\vec{AC} - \vec{AB}) = 2(\vec{c} - \vec{b})$. Тогда $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{BB_1} = \vec{A} + \vec{b} + 2(\vec{c} - \vec{b}) = \vec{A} - \vec{b} + 2\vec{c}$.

Также, $\vec{CC_1} = 2\vec{CA} = 2(-\vec{c}) = -2\vec{c}$. Тогда $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{CC_1} = \vec{A} + \vec{c} - 2\vec{c} = \vec{A} - \vec{c}$.

Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times \vec{c}| = 2$.

Теперь найдем векторы сторон треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:

$\vec{A_1B_1} = \vec{B_1} - \vec{A_1} = (\vec{A} - \vec{b} + 2\vec{c}) - (\vec{A} + 2\vec{b}) = -3\vec{b} + 2\vec{c}$.

$\vec{A_1C_1} = \vec{C_1} - \vec{A_1} = (\vec{A} - \vec{c}) - (\vec{A} + 2\vec{b}) = -2\vec{b} - \vec{c}$.

Площадь треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ равна:

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} |\vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1}| = \frac{1}{2} |(-3\vec{b} + 2\vec{c}) \times (-2\vec{b} - \vec{c})|$

Используем свойства векторного произведения: $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$ и $\vec{a} \times \vec{a} = 0$.

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} |(-3\vec{b} \times -2\vec{b}) + (-3\vec{b} \times -\vec{c}) + (2\vec{c} \times -2\vec{b}) + (2\vec{c} \times -\vec{c})|$

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} |0 + 3(\vec{b} \times \vec{c}) - 4(\vec{c} \times \vec{b}) + 0|$

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} |3(\vec{b} \times \vec{c}) + 4(\vec{b} \times \vec{c})|$

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} |7(\vec{b} \times \vec{c})| = 7 \cdot \frac{1}{2} |\vec{b} \times \vec{c}| = 7 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle A_1B_1C_1} = 7 \cdot 2 = 14$.

Ответ: 14