Стороны \(SF\), \(FC\) и \(SC\) треугольника \(SFC\) равны 90, 70 и 105 соответственно. На стороне \(FC\) отмечены точки \(L\) и \(M\), а внутри треугольника \(SFC\) - точка \(K\) так, как показано на рисунке. Известно, что отрезки \(KM\), \(ML\) и \(LK\) равны 42, 28 и 36 соответственно. Прямая \(KM\) пересекает сторону \(SF\) треугольника \(SFC\) в точке \(R\). Найдите длину отрезка \(FR\), если \(CM = 21\).

Ответ: 27

1. Шаг 1: Применение теоремы Менелая

   Рассмотрим треугольник \(SFC\) и прямую \(KM\), пересекающую сторону \(SF\) в точке \(R\). По теореме Менелая:

   \[\frac{FR}{RS} \cdot \frac{SM}{MC} \cdot \frac{CK}{KF} = 1\]

2. Шаг 2: Выражение отношений отрезков

   Из условия известно, что \(CM = 21\), тогда \(MF = FC - CM = 70 - 21 = 49\). Следовательно, отношение \(\frac{CM}{MF} = \frac{21}{49} = \frac{3}{7}\).

3. Шаг 3: Применение теоремы Менелая для треугольника и секущей

   Рассмотрим треугольник \(FCM\) и прямую \(LK\), пересекающую сторону \(FC\) в точке \(L\). По теореме Менелая:

   \[\frac{FL}{LC} \cdot \frac{CM}{MF} \cdot \frac{FK}{KS} = 1\]

4. Шаг 4: Выражение отношений отрезков и вычисление

   Из условия известно, что \(ML = 28\) и \(LK = 36\), тогда \(MK = ML + LK = 28 + 36 = 64\). Следовательно, отношение \(\frac{FL}{LC} = \frac{36}{28} = \frac{9}{7}\).

5. Шаг 5: Расчет отношения отрезков

   По теореме Менелая для треугольника \(SFC\) и прямой \(KM\):

   \[\frac{FR}{RS} \cdot \frac{MC}{CF} \cdot \frac{FK}{KS} = 1\] \[\frac{FR}{RS} \cdot \frac{21}{49} \cdot \frac{FK}{KS} = 1\]

   Отсюда:

   \[\frac{FR}{RS} = \frac{49}{21} = \frac{7}{3}\]

6. Шаг 6: Вычисление длины отрезка FR

   Пусть \(FR = x\), тогда \(RS = SF - FR = 90 - x\). Получаем уравнение:

   \[\frac{x}{90 - x} = \frac{3}{7}\] \[7x = 3(90 - x)\] \[7x = 270 - 3x\] \[10x = 270\] \[x = 27\]

Ответ: 27