Стороны AD и BC треугольников ABC и ABD пересекаются в точке E, а AB — их общая сторона. ∠BAC = ∠ABD. Докажите, что треугольники ACE и BDE равны.

Рассмотрим треугольники ACE и BDE.

Так как точка E лежит на отрезках AD и BC, то лучи AE и DE лежат на одной прямой, а лучи CE и BE — на другой. Поэтому углы \(\angle AEC\) и \(\angle DEB\) — вертикальные, следовательно, \(\angle AEC=\angle DEB\).

Кроме того, лучи \(AE\) и \(AD\) совпадают, а лучи \(BE\) и \(BC\) совпадают. Поэтому \(\angle CAE=\angle BAC\), \(\angle DBE=\angle ABD\). По условию \(\angle BAC=\angle ABD\), значит, \(\angle CAE=\angle DBE\).

Сторона \(AB\) — общая для треугольников \(ABC\) и \(ABD\). Из равенства соответствующих углов следует равенство сторон, прилежащих к ним: \(AC=BD\).

Итак, в треугольниках ACE и BDE выполнены равенства: \(AC=BD\), \(\angle CAE=\angle DBE\), \(\angle AEC=\angle DEB\). Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: \(\triangle ACE=\triangle BDE\).