Стороны MN и MP треугольника MNP пересекают плоскость α в точках A и B соответственно, при этом AB ∥ NP. а) Докажите, что прямая NP параллельна плоскости α (16 баллов). б) Найдите длину отрезка AB, если длина отрезка NP равна 24, а точка A делит сторону MN в отношении 1:3, начиная от вершины N (18 баллов).

а) Доказательство.

Плоскость треугольника MNP и плоскость α пересекаются по прямой AB, так как точки A и B принадлежат обеим плоскостям.

По условию \(AB \parallel NP\). Прямые AB и NP лежат в одной плоскости MNP и не пересекаются. Следовательно, прямая NP не имеет общих точек с плоскостью α и параллельна ей:

\[NP \parallel \alpha.\]

б) Решение.

Так как \(AB \parallel NP\), треугольники MAB и MNP подобны. Поэтому

\[\frac{AB}{NP}=\frac{MA}{MN}.\]

Точка A делит сторону MN в отношении \(NA:AM=1:3\). Значит,

\[MN=NA+AM=1+3=4\text{ части},\qquad \frac{MA}{MN}=\frac{3}{4}.\]

Подставим \(NP=24\):

\[\frac{AB}{24}=\frac{3}{4},\qquad AB=24\cdot\frac{3}{4}=18.\]

Ответ: а) \(NP \parallel \alpha\); б) \(AB=18\).