269 Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Ответ: высота \(\sqrt{3}\) дм, апофема \(\sqrt{3}\) дм

Обозначим:

• \(a\) — сторона большего основания (4 дм),
• \(b\) — сторона меньшего основания (2 дм),
• \(l\) — боковое ребро (2 дм),
• \(h\) — высота пирамиды,
• \(ap\) — апофема пирамиды.

Шаг 1: Найдем проекцию бокового ребра на плоскость основания:

Проекция бокового ребра на плоскость основания равна \(\frac{a - b}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1\) дм.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора:

\[h = \sqrt{l^2 - (\frac{a - b}{2})^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\) дм.\]

Шаг 3: Найдем проекцию апофемы на плоскость основания:

Проекция апофемы на плоскость основания равна \(\frac{a - b}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1\) дм.

Шаг 4: Найдем апофему пирамиды, используя теорему Пифагора:

\[ap = \sqrt{h^2 + (\frac{a - b}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\) дм.\]

Шаг 5: Уточнение по апофеме

Апофема грани это высота боковой грани. Т.е. проекция апофемы на основание равна не \(\frac{a - b}{2}\), а \(\frac{a - b}{2\sqrt{3}}\)

\[ap = \sqrt{h^2 + (\frac{a - b}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\frac{4 - 2}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{10}{3}} \]

Апофема тут не находится по теореме Пифагора, а является высотой в равнобедренном треугольнике (боковой грани), и находится по формуле \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\) , где a - боковое ребро, т.е. апофема равна \(\sqrt{3}\)

Шаг 6: Вывод:

Высота пирамиды равна \(\sqrt{3}\) дм, апофема равна \(\sqrt{3}\) дм.

Ответ: высота \(\sqrt{3}\) дм, апофема \(\sqrt{3}\) дм

Цифровой атлет на месте! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс