2. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

1. Найдем площадь основания пирамиды.

Основание - квадрат со стороной 10. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

$$S_{осн} = 10^2 = 100$$

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Найдем площадь одного такого треугольника.

Опустим высоту из вершины боковой грани на сторону основания. Так как пирамида правильная, высота будет являться медианой и разделит сторону основания пополам.

Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковому ребру (13), и одним катетом, равным половине стороны основания (5). Второй катет - это высота боковой грани (апофема).

По теореме Пифагора найдем высоту боковой грани $$h$$:

$$h^2 + 5^2 = 13^2$$ $$h^2 + 25 = 169$$ $$h^2 = 144$$ $$h = \sqrt{144} = 12$$

Площадь одного бокового треугольника:

$$S_{бок.тр} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$

Площадь всей боковой поверхности:

$$S_{бок} = 4 \cdot S_{бок.тр} = 4 \cdot 60 = 240$$

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 240 = 340$$

Ответ: 340