Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, объём параллелепипеда.

Решим задачу по геометрии пошагово. 1. Обозначения: * Пусть $$a = 8$$ см и $$b = 15$$ см — стороны основания параллелепипеда. * $$\alpha = 60^\circ$$ — угол между сторонами основания. * $$S_{сеч} = 130$$ см$$^2$$ — площадь меньшего диагонального сечения. * $$H$$ — высота параллелепипеда. * $$S_{полн}$$ — площадь полной поверхности параллелепипеда. * $$V$$ — объем параллелепипеда. 2. Найдем диагонали основания: Диагонали основания параллелепипеда можно найти по теореме косинусов: $$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$$ $$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$$ Подставляем значения $$a = 8$$, $$b = 15$$ и $$\alpha = 60^\circ$$: $$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169$$ $$d_2^2 = 8^2 + 15^2 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 225 + 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 + 120 = 409$$ Следовательно, $$d_1 = \sqrt{169} = 13$$ $$d_2 = \sqrt{409}$$ 3. Найдем высоту параллелепипеда: Площадь диагонального сечения равна $$S_{сеч} = d_1 \cdot H$$. Поскольку нам дана меньшая из площадей, то используем меньшую диагональ $$d_1 = 13$$: $$130 = 13 \cdot H$$ $$H = \frac{130}{13} = 10$$ 4. Найдем площадь основания: Площадь основания параллелепипеда равна: $$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3}$$ 5. Найдем объем параллелепипеда: Объем параллелепипеда равен: $$V = S_{осн} \cdot H = 60\sqrt{3} \cdot 10 = 600\sqrt{3}$$ 6. Найдем площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 2(a + b) \cdot H = 2(8 + 15) \cdot 10 = 2 \cdot 23 \cdot 10 = 460$$ 7. Найдем площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности равна: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 60\sqrt{3} + 460 = 120\sqrt{3} + 460$$ 8. Итоговые ответы: * Объем параллелепипеда: $$V = 600\sqrt{3}$$ см$$^3$$ * Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 460 + 120\sqrt{3}$$ см$$^2$$ Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна $$460 + 120\sqrt{3}$$ см$$^2$$, объем параллелепипеда равен $$600\sqrt{3}$$ см$$^3$$.