Стороны параллелограмма равны 10√2 см и 26 см, а угол между ними 45°. Найди меньшую диагональ параллелограмма.

Решение:

Для нахождения меньшей диагонали параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть стороны параллелограмма равны \( a = 10\sqrt{2} \) см и \( b = 26 \) см. Угол между ними \( \alpha = 45^{\circ} \).

Формула для диагонали \( d_1 \) параллелограмма:

\[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \]

Подставим значения:

\[ d_1^2 = (10\sqrt{2})^2 + (26)^2 - 2(10\sqrt{2})(26) \cos(45^{\circ}) \]

\[ d_1^2 = (100 \cdot 2) + 676 - (520\sqrt{2}) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ d_1^2 = 200 + 676 - (520\sqrt{2}) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ d_1^2 = 876 - 520 \cdot \frac{2}{2} \]

\[ d_1^2 = 876 - 520 \]

\[ d_1^2 = 356 \]

\[ d_1 = \sqrt{356} = \sqrt{4 \cdot 89} = 2\sqrt{89} \]

Чтобы определить, какая диагональ меньшая, нужно сравнить квадраты диагоналей. Вторая диагональ \( d_2 \) находится по формуле:

\[ d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^{\circ} - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha) \]

Так как \( \cos(45^{\circ}) > 0 \), то \( d_1^2 < d_2^2 \), следовательно, \( d_1 \) — меньшая диагональ.

Ответ: меньшая диагональ равна \( 2\sqrt{89} \) см.