2. Стороны PK и PM треугольника PMK равны, РН - его медиана (см. рисунок). Найдите углы РНК и КРН, если ∠MPK = 42°.

Дано: треугольник PMK, PK = PM, PH - медиана, ∠MPK = 42°.

Найти: ∠PHK, ∠KPH.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник PMK. Так как PK = PM, то треугольник PMK - равнобедренный с основанием KM.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠PKM = ∠PMK.
3. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠PKM + ∠PMK + ∠MPK = 180°.
4. ∠PKM + ∠PMK = 180° - ∠MPK = 180° - 42° = 138°.
5. Так как ∠PKM = ∠PMK, то ∠PKM = ∠PMK = 138° ∶ 2 = 69°.
6. PH - медиана треугольника PMK. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, PH ⊥ KM и ∠KPH = ∠MPK ∶ 2 = 42° ∶ 2 = 21°.
7. Так как PH ⊥ KM, то ∠PHK = 90°.

Ответ: ∠PHK = 90°, ∠KPH = 21°.