Стороны прямоугольника 19 и 30 см (рис. 22). Его разрезали на три меньших прямоугольника, которые подобны друг другу. Чему равен периметр самого маленького прямоугольника на этом рисунке?

Пусть ширина самого маленького прямоугольника равна \(x\) см, а его высота — \(y\) см. По рисунку два других прямоугольника подобны ему и повернуты.

Отношение длинной стороны к короткой у подобных прямоугольников обозначим через \(k\). Тогда:

1. Для маленького прямоугольника \(y=kx\).
2. Ширина верхнего прямоугольника равна \(30-x\), поэтому его высота \(y\), и \(30-x=ky=k^2x\).
3. Из последнего равенства получаем \(x(1+k^2)=30\).

Подстановка в условие для нижнего прямоугольника даёт уравнение, корень которого соответствует рисунку: \(k=3\).

Тогда \(x=\dfrac{30}{1+3^2}=3\) см, а \(y=3\cdot3=9\) см.

Периметр маленького прямоугольника:

\[P=2(x+y)=2(3+9)=24\text{ см}.\]

Ответ: 24 см.