Стороны $$SH$$, $$HC$$ и $$SC$$ треугольника $$SHC$$ равны $$40$$, $$30$$ и $$50$$ соответственно. На стороне $$HC$$ отмечены точки $$L$$ и $$M$$, а внутри треугольника $$SHC$$ – точка $$K$$ так, как показано на рисунке. Известно, что отрезки $$KM$$, $$ML$$ и $$LK$$ равны $$25$$, $$15$$ и $$20$$ соответственно. Прямая $$KM$$ пересекает сторону $$SH$$ треугольника $$SHC$$ в точке $$P$$. Найдите длину отрезка $$HP$$, если $$CM = 6$$.

Решение:

1. Пусть $$HP = x$$, тогда $$SP = 40 - x$$.
2. По теореме Менелая для треугольника $$SHC$$ и прямой $$KM$$: $$\frac{HP}{PS} \cdot \frac{SK}{KC} \cdot \frac{CM}{MH} = 1$$ $$\frac{x}{40-x} \cdot \frac{SK}{KC} \cdot \frac{6}{24} = 1$$ $$\frac{x}{40-x} \cdot \frac{SK}{KC} = 4$$ $$\frac{SK}{KC} = \frac{4(40-x)}{x}$$
3. По теореме Менелая для треугольника $$HNC$$ и прямой $$ML$$: $$\frac{HL}{LC} \cdot \frac{CS}{SP} \cdot \frac{PK}{KH} = 1$$ $$\frac{15}{15} \cdot \frac{50}{40-x} \cdot \frac{1}{1} = 1$$ $$\frac{30-6}{6} = \frac{24}{6} = 4$$ $$\frac{CS}{SP} = \frac{40-x}{50} = \frac{15}{40}$$ $$\frac{15+25}{KC}$$
4. Рассмотрим треугольник $$LKM$$. В этом треугольнике известны все три стороны: $$KM = 25$$, $$ML = 15$$, $$LK = 20$$. Заметим, что $$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$$. Следовательно, треугольник $$LKM$$ является прямоугольным с прямым углом $$L$$.
5. Так как прямая $$KM$$ параллельна прямой $$HC$$ , $$SH = \frac{15 \cdot 30}{20} = 22,5$$

Примем $$HP = x$$, тогда:

$$\frac{40-x}{x}$$ = 4

$$\frac{x}{40-x} = \frac{KM}{LC}$$ , где $$KM=25$$,$$LC=25$$

Ответ: 10