378 Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника, а также связь между радиусом вписанной сферы, площадью треугольника и расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника. Пусть стороны треугольника равны $$a = 10$$ см, $$b = 10$$ см, $$c = 12$$ см. Радиус сферы $$r = 5$$ см. 1. Найдем полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ см 2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$$ см$$ 3. Вычислим радиус вписанной окружности в треугольник: $$r_{in} = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$$ см 4. Найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника (пусть это расстояние будет $$d$$). Так как сфера касается сторон треугольника, то расстояние от центра сферы до плоскости треугольника можно найти по формуле: $$d = \sqrt{r^2 - r_{in}^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$ см <p><strong>Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 4 см.</strong></p>