Стороны треугольника равны 13, 20 и 21, а высота, проведённая к большей стороне, равна 12. Найди радиус вписанной в треугольник окружности.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) воспользуемся формулой \( r = \frac{S}{p} \), где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.

1. Найдём площадь треугольника (S):
   Так как известна одна сторона (основание) и высота, проведённая к ней, площадь можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).
   Большая сторона треугольника равна 21, а высота к ней — 12.
   \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 12 = 21 \times 6 = 126 \]
2. Найдём полупериметр треугольника (p):
   Полупериметр — это половина суммы всех сторон.
   \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \]
3. Найдём радиус вписанной окружности (r):
   \[ r = \frac{S}{p} = \frac{126}{27} \]

Разделим 126 на 27:

126 : 27 = 4.666...

Упростим дробь \( \frac{126}{27} \). Оба числа делятся на 9:
126 \( \div \) 9 = 14
27 \( \div \) 9 = 3
\[ r = \frac{14}{3} \]

В десятичной дроби это приблизительно 4.67.

Ответ: радиус вписанной окружности равен \( \frac{14}{3} \).