Стороны треугольника равны 20 дм, 15 дм, 7 дм. Вычисли наибольшую высоту этого треугольника.

Решение:

1. Определим площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+15+7}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) дм.

Площадь \( S_\triangle = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-20)(21-15)(21-7)} = \sqrt{21 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{21 \cdot 84} = \sqrt{1764} = 42 \) дм².

2. Найдем наибольшую высоту. Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне. Наименьшая сторона равна 7 дм. Формула площади через высоту: \( S_\triangle = \frac{1}{2} a \cdot h_a \), где \( a \) — сторона, \( h_a \) — высота, проведенная к этой стороне.

Наибольшая высота \( h_{max} \) проведена к наименьшей стороне \( a_{min} = 7 \) дм. Отсюда: \( h_{max} = \frac{2 S_\triangle}{a_{min}} = \frac{2 \cdot 42}{7} = \frac{84}{7} = 12 \) дм.

Ответ: 12 дм.