Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r= 5 см, ∠A = 60°; б) r, если ОА = 14 дм, ∠A =…Фото задания

Ответ:

Краткая запись:

  • Угол А касается окружности с центром О радиуса r.
  • а) Найти: ОА, если r = 5 см, ∠A = 60°.
  • б) Найти: r, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°.
Краткое пояснение: В данном случае мы имеем дело с касательной к окружности. Для решения задач такого типа будем использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного радиусом, проведенным в точку касания, и отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной угла.

Пошаговое решение:

а) Находим ОА, если r = 5 см, ∠A = 60°.

  1. Шаг 1: Проведем радиус из центра окружности О к точке касания сторон угла А. Этот радиус будет перпендикулярен стороне угла (свойство касательной). Образуется прямоугольный треугольник, где один из катетов — это радиус (r), а гипотенуза — отрезок ОА.
  2. Шаг 2: Угол между сторонами угла А равен 60°, а радиус, проведенный к точке касания, делит этот угол пополам. Следовательно, угол в прямоугольном треугольнике, прилежащий к катету r, равен \( \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
  3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть, \( r = \frac{OA}{2} \).
  4. Шаг 4: Вычисляем ОА: \( OA = 2 \cdot r = 2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см} \).

б) Находим r, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°.

  1. Шаг 1: Аналогично предыдущему пункту, рассматриваем прямоугольный треугольник, образованный радиусом r, отрезком ОА и стороной угла А.
  2. Шаг 2: Угол в прямоугольном треугольнике, прилежащий к катету r, равен половине угла А: \( \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
  3. Шаг 3: В данном случае треугольник является равнобедренным прямоугольным (углы 45°, 45°, 90°). Следовательно, катеты равны: \( r = OA \cdot \sin(45^{\circ}) \).
  4. Шаг 4: Вычисляем r: \( r = 14 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ дм} \).

Ответ: а) ОА = 10 см; б) r = 7\(\sqrt{2}\) дм.