557 Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а Си Е - на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если АВ = 10 см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АB: BD = 2:1 и DE = 12 см.

a) По теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне угла. В данном случае прямые BC и DE параллельны, значит:

$$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}$$

Нам дано: CE = 10 см, AD = 22 см, BD = 8 см. Необходимо найти AC.

Выразим AB через AD и BD:

$$AB = AD - BD = 22 - 8 = 14 \text{ см}$$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$$\frac{14}{8} = \frac{AC}{10}$$

Найдем AC:

$$AC = \frac{14 \cdot 10}{8} = \frac{140}{8} = 17.5 \text{ см}$$.

Ответ: 17.5 см

б) По теореме Фалеса:

$$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}$$

$$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$$

Нам дано: AB = 10 см, AC = 8 см, BC = 4 см, CE = 4 см.

Следовательно, AE = AC + CE = 8 + 4 = 12 см.

Найдем BD:

$$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}$$

$$\frac{10}{BD} = \frac{8}{4}$$

$$BD = \frac{10 \cdot 4}{8} = \frac{40}{8} = 5 \text{ см}$$.

Найдем DE:

$$\frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$$

$$\frac{4}{DE} = \frac{8}{12}$$

$$DE = \frac{4 \cdot 12}{8} = \frac{48}{8} = 6 \text{ см}$$.

Ответ: BD = 5 см, DE = 6 см

в) Дано: AB : BD = 2 : 1 и DE = 12 см. Найдем BC.

Пусть AB = 2x, тогда BD = x.

Следовательно, AD = AB + BD = 2x + x = 3x.

По теореме Фалеса:

$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$$

$$\frac{2x}{3x} = \frac{BC}{12}$$

$$\frac{2}{3} = \frac{BC}{12}$$

$$BC = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ см}$$.

Ответ: 8 см