Стороны угла К касаются окружности с центром О и радиуса г. Найдите г, если ОК = 14 см, а угол К равен 120°.

Решение:

Пусть стороны угла K касаются окружности с центром O в точках A и B. Тогда OA \(\perp\) KA и OB \(\perp\) KB. Отрезки OA и OB являются радиусами окружности, то есть \( OA = OB = r \).

Рассмотрим четырехугольник OAKB. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Углы OAK и OBK прямые (равны 90°), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

\( \angle OAK = \angle OBK = 90^{\circ} \)

\( \angle AKB = 120^{\circ} \)

Сумма углов четырехугольника:

\( \angle OAK + \angle AKB + \angle KBO + \angle BOA = 360^{\circ} \)

\( 90^{\circ} + 120^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BOA = 360^{\circ} \)

\( 300^{\circ} + \angle BOA = 360^{\circ} \)

\( \angle BOA = 60^{\circ} \)

Рассмотрим треугольник OAK. Он прямоугольный, так как \( \angle OAK = 90^{\circ} \). Отрезок OK является гипотенузой. Биссектриса угла K делит угол пополам, поэтому \( \angle OKA = \frac{1}{2} \angle AKB = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике OAK, используя тригонометрические соотношения:

\( \sin(\angle OKA) = \frac{OA}{OK} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{r}{14} \)

Мы знаем, что \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{14} \)

Чтобы найти r, умножим обе стороны на 14:

\( r = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 7\sqrt{3} \) см.