Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.

Доказательство: Пусть O1 и O2 - центры окружностей, касающихся сторон угла O в точках B и C соответственно, и имеющих общую касательную в точке A. 1. Так как O1B и O2C перпендикулярны касательным (свойство радиуса, проведенного в точку касания), то углы O1BA и O2CA прямые. 2. Прямая OA является биссектрисой угла O. Следовательно, углы O1OA и O2OA равны. 3. Рассмотрим треугольники O1OA и O2OA. У них угол O общий, углы O1BA и O2CA прямые, значит, углы O1OA и O2OA равны. Следовательно, точки O1, O и O2 лежат на одной прямой, то есть центры окружностей лежат на прямой OA. Что и требовалось доказать.