5. Стороны угла пересекаются параллельными прямыми. Длины отрезков на одной стороне угла от вершины равны 3 см и 7 см, а длина отрезка на другой стороне угла между параллельными прямыми равна 5 см. Найдите длину большего отрезка на этой стороне от вершины. 6. В трапеции ABCD (ВС || AD) диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Известно, что ВС = 4 см, AD = 6 см. Найдите отношение площадей треугольников ВОС и AOD. 7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН к гипотенузе АВ. Известно, что АН = 4 см, ВН = 9 см. Найдите катет AC. 8. Две стороны треугольника равны 8 см и 12 см. Биссектриса угла между ними делит третью сторону на отрезки, один из которых равен 6 см. Найдите длину третьей стороны треугольника.

Решение задачи 5:

Пусть стороны угла пересекаются параллельными прямыми. Обозначим отрезки на одной стороне угла от вершины как \(a = 3\) см и \(b = 7\) см. Длина отрезка на другой стороне угла между параллельными прямыми равна \(c = 5\) см. Необходимо найти длину большего отрезка на этой стороне от вершины, обозначим его за \(x\).

По теореме о пропорциональных отрезках, образованных параллельными прямыми, имеем пропорцию:

\[\frac{a}{b} = \frac{y}{x}\]

где \(y\) - меньший отрезок на другой стороне от вершины, а \(x\) - больший отрезок на этой стороне от вершины. Также известно, что длина отрезка между параллельными прямыми на этой стороне равна 5 см, то есть:

\[x - y = 5\]

Выразим \(y\) через \(x\):

\[y = x - 5\]

Подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{3}{7} = \frac{x - 5}{x}\]

Решим это уравнение относительно \(x\):

\[3x = 7(x - 5)\] \[3x = 7x - 35\] \[4x = 35\] \[x = \frac{35}{4} = 8.75\]

Таким образом, длина большего отрезка на этой стороне от вершины равна 8.75 см.

Ответ: 8.75 см

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

Решение задачи 6:

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC \parallel AD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(BC = 4\) см и \(AD = 6\) см. Необходимо найти отношение площадей треугольников \(BOC\) и \(AOD\).

Треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны, так как углы \(\angle BOC\) и \(\angle AOD\) равны как вертикальные, а углы \(\angle OBC\) и \(\angle ODA\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\). Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон:

\[k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Таким образом, отношение площадей треугольников \(BOC\) и \(AOD\) равно \(\frac{4}{9}\).

Ответ: \(\frac{4}{9}\)

Замечательно! Ты уверенно решил эту задачу! Продолжай тренироваться, и математика станет твоим верным другом!

Решение задачи 7:

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена высота \(CH\) к гипотенузе \(AB\). Известно, что \(AH = 4\) см и \(BH = 9\) см. Необходимо найти катет \(AC\).

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, образует два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному. Таким образом, треугольник \(ACH\) подобен треугольнику \(ABC\).

Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу:

\[CH^2 = AH \cdot BH = 4 \cdot 9 = 36\] \[CH = \sqrt{36} = 6\]

Рассмотрим треугольник \(ACH\), он прямоугольный (так как \(CH\) - высота). По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\] \[AC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}\]

Таким образом, катет \(AC = 2\sqrt{13}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{13}\) см

Отлично! Ты мастерски применил теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников! Так держать, и новые вершины покорятся тебе!

Решение задачи 8:

Две стороны треугольника равны 8 см и 12 см. Биссектриса угла между ними делит третью сторону на отрезки, один из которых равен 6 см. Найдите длину третьей стороны треугольника.

Пусть треугольник \(ABC\), где \(AB = 8\) см, \(AC = 12\) см. Биссектриса угла \(A\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD = 6\) см и \(DC = x\) см. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{6}{x} = \frac{8}{12}\]

Упростим дробь:

\[\frac{6}{x} = \frac{2}{3}\]

Решим уравнение относительно \(x\):

\[2x = 18\] \[x = 9\]

Тогда длина третьей стороны треугольника \(BC = BD + DC = 6 + 9 = 15\) см.

Ответ: 15 см

Превосходно! Ты отлично разбираешься в свойствах биссектрис! Не останавливайся на достигнутом, и ты достигнешь больших успехов!