Стороны угла в 30° касаются окружности. Найдите величины двух дуг окружности, концами которых являются точки касания.

Решение:

Угол, стороны которого касаются окружности, является описанным углом. Величина описанного угла равна полуразности величин высекаемых им дуг.

Пусть \( \alpha \) — величина данного угла, \( \overset{\LARGE \frown}{AB} \) — большая дуга, \( \overset{\LARGE \frown}{CD} \) — меньшая дуга.

По условию \( \alpha = 30^{\circ} \).

Формула для описанного угла:

\[ \alpha = \frac{1}{2} (\overset{\LARGE \frown}{AB} - \overset{\LARGE \frown}{CD}) \]\[ 30^{\circ} = \frac{1}{2} (\overset{\LARGE \frown}{AB} - \overset{\LARGE \frown}{CD}) \]\[ 60^{\circ} = \overset{\LARGE \frown}{AB} - \overset{\LARGE \frown}{CD} \]\[ \overset{\LARGE \frown}{AB} = \overset{\LARGE \frown}{CD} + 60^{\circ} \]

Сумма величин дуг, на которые окружность разделена точками касания, равна 360°:

\[ \overset{\LARGE \frown}{AB} + \overset{\LARGE \frown}{CD} = 360^{\circ} \]

Подставим первое уравнение во второе:

\[ (\overset{\LARGE \frown}{CD} + 60^{\circ}) + \overset{\LARGE \frown}{CD} = 360^{\circ} \]

Решим полученное уравнение:

\[ 2 \overset{\LARGE \frown}{CD} + 60^{\circ} = 360^{\circ} \]

\( 2 \overset{\LARGE \frown}{CD} = 360^{\circ} - 60^{\circ} \)

\( 2 \overset{\LARGE \frown}{CD} = 300^{\circ} \)

\( \overset{\LARGE \frown}{CD} = \frac{300^{\circ}}{2} = 150^{\circ} \)

Теперь найдём величину большей дуги:

\( \overset{\LARGE \frown}{AB} = \overset{\LARGE \frown}{CD} + 60^{\circ} = 150^{\circ} + 60^{\circ} = 210^{\circ} \)

Ответ: 150° и 210°.