стр. 164 упр. 225 (1-3) Решить: 1) Sin 35°+ Sin 25° Sin 35° - Sin 25° 2) COSπ/3-COS 2π/3 3) COS 105°+ COS75° 4) Sin 105°- Sin 75° 5) COS 11π/12 + COS 5π/12

Решение:

1) Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы и разности синусов:

$$sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$$ $$sin(\alpha) - sin(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$$

Тогда:

$$ \frac{sin(35^\circ) + sin(25^\circ)}{sin(35^\circ) - sin(25^\circ)} = \frac{2sin(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2})cos(\frac{35^\circ - 25^\circ}{2})}{2cos(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2})sin(\frac{35^\circ - 25^\circ}{2})} = \frac{sin(30^\circ)cos(5^\circ)}{cos(30^\circ)sin(5^\circ)} = \frac{sin(30^\circ)}{cos(30^\circ)} \cdot \frac{cos(5^\circ)}{sin(5^\circ)} = tg(30^\circ) \cdot ctg(5^\circ)$$

Так как $$tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$, то

$$tg(30^\circ) \cdot ctg(5^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot ctg(5^\circ)$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot ctg(5^\circ)$$

---

2) Используем формулу разности косинусов:

$$cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$$

Тогда:

$$cos(\frac{\pi}{3}) - cos(\frac{2\pi}{3}) = -2sin(\frac{\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}}{2})sin(\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{2}) = -2sin(\frac{\pi}{2})sin(-\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$$

Ответ: 1

---

3) Используем формулу суммы косинусов:

$$cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$$

Тогда:

$$cos(105^\circ) + cos(75^\circ) = 2cos(\frac{105^\circ + 75^\circ}{2})cos(\frac{105^\circ - 75^\circ}{2}) = 2cos(90^\circ)cos(15^\circ) = 2 \cdot 0 \cdot cos(15^\circ) = 0$$

Ответ: 0

---

4) Используем формулу разности синусов:

$$sin(\alpha) - sin(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$$

Тогда:

$$sin(105^\circ) - sin(75^\circ) = 2cos(\frac{105^\circ + 75^\circ}{2})sin(\frac{105^\circ - 75^\circ}{2}) = 2cos(90^\circ)sin(15^\circ) = 2 \cdot 0 \cdot sin(15^\circ) = 0$$

Ответ: 0

---

5) Используем формулу суммы косинусов:

$$cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$$

Тогда:

$$cos(\frac{11\pi}{12}) + cos(\frac{5\pi}{12}) = 2cos(\frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2})cos(\frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}) = 2cos(\frac{\frac{16\pi}{12}}{2})cos(\frac{\frac{6\pi}{12}}{2}) = 2cos(\frac{2\pi}{3})cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $$\frac{-\sqrt{2}}{2}$$