Страхуется 1200 автомобилей; считается, что каждый из них может попасть в аварию с вероятностью 0.08. Для вычисления вероятности того, что количество аварий среди всех застрахованных автомобилей не превзойдет 100, следует использовать...

Решение:

В данном случае у нас есть большое количество независимых испытаний (1200 автомобилей), где каждое испытание имеет два исхода (авария или нет) с постоянной вероятностью успеха (вероятность аварии 0.08). Нас интересует вероятность того, что количество «успехов» (аварий) не превысит определенного значения (100).

Такие условия лучше всего описываются формулой Пуассона, которая применяется для приближенного расчета вероятностей в схеме Бернулли при большом числе испытаний и малой вероятности события.

Хотя также можно использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа, которая является частным случаем нормального распределения и также применима при большом числе испытаний, формула Пуассона более точна, когда вероятность события мала.

Формула Пуассона:

\[ P(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
где \( \lambda = np = 1200 \cdot 0.08 = 96 \) — математическое ожидание числа аварий, \( k \) — число аварий.

Если же рассматривать приближение нормальным распределением (формула Муавра-Лапласа), то среднее \( \mu = np = 96 \), а стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1200 \cdot 0.08 \cdot 0.92} \approx \sqrt{88.32} \approx 9.4 \).

Так как нам нужно найти вероятность того, что количество аварий не превзойдет 100, мы ищем \( P(X \le 100) \).

В контексте предложенных вариантов, формула Пуассона является наиболее подходящей для данного типа задач, особенно когда \( n \) велико, а \( p \) мало.

Однако, если рассматривать приближение с помощью нормального распределения, то интегральная формула Муавра-Лапласа также будет использована.

Учитывая, что \( n=1200 \) и \( p=0.08 \), \( np = 96 \) и \( n(1-p) = 1200 \times 0.92 = 1104 \). Оба значения больше 5, что позволяет использовать приближение нормальным распределением.

Чаще всего в таких случаях, когда \( n \) велико, используют приближение нормальным распределением. Поэтому интегральная формула Муавра-Лапласа является также корректным выбором.

Сравним варианты:

• Формула полной вероятности: Применяется для нахождения вероятности события, которое может произойти при различных условиях. Здесь у нас одно событие (авария), но нас интересует его частота.
• Формула Байеса: Применяется для пересчета условных вероятностей, когда известны результаты события.
• Формула Пуассона: Хорошо подходит для приближенного расчета вероятностей в схеме Бернулли при большом \( n \) и малом \( p \).
• Интегральная формула Муавра-Лапласа: Применяется для приближенного расчета вероятности суммы большого числа независимых случайных величин, когда \( np > 5 \) и \( n(1-p) > 5 \).

В данном случае, \( np = 96 \) и \( n(1-p) = 1104 \), оба значения больше 5. Поэтому интегральная формула Муавра-Лапласа является очень подходящей.

Если бы \( p \) было существенно меньше, например, \( p=0.008 \), то \( np = 9.6 \) и \( n(1-p) \rightarrow \), тогда формула Пуассона была бы предпочтительнее.

Так как \( p=0.08 \) не является очень малым, а \( np \) и \( n(1-p) \) достаточно велики, то интегральная формула Муавра-Лапласа является стандартным выбором.

Ответ: интегральную формулу Муавра-Лапласа.