Строительная фирма подготовила к продаже 8 щитовых домов. В качестве подарочной акции было принято решение утеплить три произвольно выбранных дома. В наличии имелись утеплители трёх различных видов. Сколькими способами можно утеплить три произвольно выбранных дома при условии, что все утеплённые дома будут снабжены разными утеплителями?

Для решения задачи необходимо определить количество способов выбора трех домов из восьми, а затем распределить между ними три вида утеплителя.

1. Выбор трех домов из восьми:

Это можно сделать с помощью сочетаний, так как порядок выбора домов не важен. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n! - факториал числа n.

В нашем случае нужно выбрать 3 дома из 8, то есть n = 8 и k = 3.

$$C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

Итак, выбрать три дома из восьми можно 56 способами.

2. Распределение трех видов утеплителя между тремя домами:

Поскольку все утеплители должны быть разными, первый дом можно утеплить любым из трех видов утеплителя (3 варианта). Второй дом можно утеплить любым из оставшихся двух видов утеплителя (2 варианта). Третий дом можно утеплить только одним оставшимся видом утеплителя (1 вариант).

Таким образом, число способов распределения утеплителей равно числу перестановок из трех элементов:

$$P(3) = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

3. Общее количество способов:

Теперь нужно умножить количество способов выбора домов на количество способов распределения утеплителей:

$$56 \times 6 = 336$$

Ответ: 336