стройте график нкции: у = 6 X , если х < -2, -3, если -2 <x 2 6 X , если х > 2. графику определите значения нкции при — 6 < x < 6. y E ;0] (-3;-2) [-2; -1] [−3; -1] ; 0)

Краткое пояснение:

Для нахождения диапазона значений функции (y) при заданном диапазоне значений аргумента (x), необходимо подставить крайние и особые точки аргумента в соответствующие части функции и определить предельные значения.

Пошаговое решение:

Дана кусочно-заданная функция:

$$y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \\ -3, & \text{если } -2 \leq x \leq 2 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2 \end{cases} $$

Рассмотрим заданный интервал для x: $$-6 \leq x \leq 6$$. Необходимо найти диапазон значений y.

1. Анализ первой части функции: $$y = \frac{6}{x}$$ при $$x < -2$$.

Для $$x = -6$$ (крайняя левая точка): $$y = \frac{6}{-6} = -1$$.

По мере приближения x к -2 (с отрицательной стороны), значение $$y = \frac{6}{x}$$ стремится к $$-\infty$$. Например, при $$x = -2.001$$, $$y \approx -2.999$$. При $$x = -1.999$$ (что уже выходит из данного условия $$x<-2$$), $$y < -3$$.

Таким образом, для $$x < -2$$, диапазон y находится в интервале $$(- \infty, -1]$$.

2. Анализ второй части функции: $$y = -3$$ при $$-2 \leq x \leq 2$$.

На этом интервале значение y постоянно и равно -3.

3. Анализ третьей части функции: $$y = \frac{6}{x}$$ при $$x > 2$$.

Для $$x = 2$$ (крайняя левая точка этого интервала, не включая): $$y = \frac{6}{2} = 3$$.

Для $$x = 6$$ (крайняя правая точка): $$y = \frac{6}{6} = 1$$.

По мере увеличения x, значение $$y = \frac{6}{x}$$ уменьшается и стремится к 0 (но никогда не достигает его).

Таким образом, для $$x > 2$$, диапазон y находится в интервале $$(0, 3)$$.

4. Объединение диапазонов:

Объединим полученные диапазоны значений y:

Из первой части: $$(- \infty, -1]$$.

Из второй части: $$\{-3\}$$ (значение -3 входит в диапазон, так как $$x$$ принимает значения от -2 до 2).

Из третьей части: $$(0, 3)$$.

При объединении $$(- \infty, -1]$$ и $$\{-3\}$$ получаем $$(- \infty, -1]$$.

При объединении $$(- \infty, -1]$$ и $$(0, 3)$$ получаем: $$(- \infty, -1] \cup (0, 3)$$.

Важно учесть, что значение $$y=-3$$ получается при $$x > -2$$ и $$x < 2$$. Значение $$y=-3$$ также достигается на границе $$x=-2$$ ($$y=rac{6}{-2}=-3$$) и внутри интервала $$x < 2$$ ($$y=-3$$).

Рассмотрим внимательнее интервал $$-2 \leq x \leq 2$$. В этом интервале $$y=-3$$.

Для $$x< -2$$, $$y=rac{6}{x}$$. Когда $$x$$ приближается к $$-2$$ слева, $$y$$ приближается к $$-3$$ (с отрицательной стороны, например, $$x=-2.1 ightarrow y < -3$$). При $$x=-6, y=-1$$. Таким образом, для $$x < -2$$, $$y < -3$$. И при $$x=-6, y=-1$$. Диапазон: $$(- ∞, -3) u (-3, -1]$$.

Для $$x>2$$, $$y=rac{6}{x}$$. Когда $$x$$ приближается к $$2$$ справа, $$y$$ приближается к $$3$$. При $$x=6, y=1$$. Таким образом, для $$x>2$$, $$y$$ находится в интервале $$(1, 3)$$.

С учетом $$y=-3$$ для $$-2 < x < 2$$:

Для $$x < -2$$: $$y$$ находится в интервале $$(- ∞, -3) u (-3, -1]$$.

Для $$-2 < x < 2$$: $$y = -3$$.

Для $$x > 2$$: $$y$$ находится в интервале $$(1, 3)$$.

Однако, условие $$-2 < x < 2$$ дает $$y=-3$$.

При $$x=-2$$, $$y = -3$$. При $$x=2$$, $$y=-3$$.

Функция $$y = 6/x$$ для $$x < -2$$. Когда $$x o -∞$$, $$y o 0$$. Когда $$x o -2^-$$, $$y o -∞$$. Таким образом, для $$x < -2$$, $$y < -3$$.

Функция $$y = 6/x$$ для $$x > 2$$. Когда $$x o 2^+$$, $$y o 3$$. Когда $$x o +∞$$, $$y o 0$$. Таким образом, для $$x > 2$$, $$y$$ находится в интервале $$(0, 3)$$.

Объединяя все интервалы:

• Для $$x < -2$$: $$y < -3$$.
• Для $$-2 < x < 2$$: $$y = -3$$.
• Для $$x > 2$$: $$0 < y < 3$$.

Учитывая границы $$x=-6$$ и $$x=6$$:

• При $$x=-6$$, $$y=6/(-6)=-1$$. (Это значение не попадает в $$y<-3$$).

Вернемся к анализу:

1. $$x < -2$$: $$y = 6/x$$. При $$x=-6$$, $$y=-1$$. При $$x o -2^-$$, $$y o -∞$$. Таким образом, диапазон $$y$$ для $$x < -2$$ при $$x > -6$$ это $$(- ∞, -1]$$.

2. $$-2 < x < 2$$: $$y = -3$$.

3. $$x > 2$$: $$y = 6/x$$. При $$x o 2^+$$, $$y o 3$$. При $$x=6$$, $$y=1$$. Таким образом, диапазон $$y$$ для $$x > 2$$ при $$x < 6$$ это $$(1, 3)$$.

Объединяем диапазоны:

• $$(- ∞, -1]$$
• $$\{-3\}$$
• $$(1, 3)$$

Объединение: $$(- ∞, -1] u {-3} u (1, 3)$$.

Проверим граничные значения $$x=-6$$ и $$x=6$$. При $$x=-6$$, $$y=-1$$. При $$x=6$$, $$y=1$$.

Для $$x < -2$$: $$y=6/x$$. При $$x o -∞$$, $$y o 0^-$$. При $$x o -2^-$$, $$y o -∞$$. На интервале $$[-6, -2)$$ $$y$$ находится в интервале $$(-∞, -1]$$.

Для $$-2 < x < 2$$: $$y=-3$$.

Для $$x > 2$$: $$y=6/x$$. При $$x o 2^+$$, $$y o 3$$. При $$x o +∞$$, $$y o 0^+$$. На интервале $$(2, 6]$$ $$y$$ находится в интервале $$[1, 3)$$.

Объединяя все части:

• $$(-∞, -1]$$
• $$\{-3\}$$
• $$[1, 3)$$

Объединенный диапазон: $$(-∞, -1] u {-3} u [1, 3)$$.

Значение $$y=-3$$ не входит в $$(-∞, -1]$$, так как $$-3 < -1$$. Поэтому объединение $$(-∞, -1] u {-3}$$ дает $$(-∞, -1]$$.

Итоговый диапазон: $$(-∞, -1] u [1, 3)$$.

Ответ: $$y ∈ (-∞, -1] u [1, 3)$$