Студенты сдавали экзамены по математическому анализу в течение трех дней в одних и тех же аудиториях. Число экзаменовавшихся в каждый день студентов в каждой аудитории было равно числу аудиторий. Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их можно было провести за два дня, используя каждый день одни и те же аудитории, причём каждый день в каждой аудитории студентов удалось бы рассадить по рядам так, что число рядов, а также число людей в ряду было бы равным числу используемых аудиторий. Найдите минимальное возможное число студентов, которое могло бы быть проэкзаменовано при этих условиях.

Решение:

Смотри, тут всё просто: Пусть \( x \) — число аудиторий, \( y \) — число студентов в каждой аудитории каждый день. Тогда общее число студентов равно \( 3xy \).

Во втором корпусе число дней равно 2, а число студентов в каждой аудитории каждый день равно \( x^2 \). Общее число студентов равно \( 2x \cdot x^2 = 2x^3 \).

Приравниваем оба выражения для общего числа студентов: \( 3xy = 2x^3 \). Отсюда следует, что \( y = \frac{2}{3}x^2 \).

Поскольку \( x \) и \( y \) должны быть целыми числами, \( x \) должно делиться на 3. Значит, минимальное значение \( x = 3 \).

Тогда \( y = \frac{2}{3} \cdot 3^2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \).

Теперь найдём общее число студентов: \( 3xy = 3 \cdot 3 \cdot 6 = 54 \).

Ответ: 54