sum from n=1 to infinity of (2n-1)x^n / 2^n

Решение:

Задание представляет собой сумму ряда:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)x^n}{2^n} \)

Для нахождения области сходимости применим признак Даламбера:

\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \)

Где \( a_n = \frac{(2n-1)x^n}{2^n} \) и \( a_{n+1} = \frac{(2(n+1)-1)x^{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{(2n+1)x^{n+1}}{2^{n+1}} \).

\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n+1)x^{n+1}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{(2n-1)x^n} \right| \)

\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n+1)}{2(2n-1)} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} \right| \)

\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2n+1}{4n-2} \cdot x \right| \)

\( L = \left| x \right| \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{4n-2} \)

\( L = \left| x \right| \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{4 - \frac{2}{n}} = \left| x \right| \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \left| x \right| \)

Для сходимости ряда необходимо, чтобы \( L < 1 \):

\( \frac{1}{2} \left| x \right| < 1 \)

\( \left| x \right| < 2 \)

Это означает, что ряд сходится при \( -2 < x < 2 \).

Теперь проверим крайние точки:

При \( x = 2 \):

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)2^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) \)

Так как \( \lim_{n \to \infty} (2n-1) = \infty
e 0 \), ряд расходится.

При \( x = -2 \):

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(-2)^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) \left( -1 \right)^n \)

Это знакопеременный ряд. \( \lim_{n \to \infty} (2n-1) \left( -1 \right)^n \) не существует, так как члены ряда колеблются между положительными и отрицательными значениями и их абсолютная величина стремится к бесконечности. Следовательно, ряд расходится.

Таким образом, интервал сходимости ряда: \( (-2, 2) \).

Ответ: Интервал сходимости ряда: \( (-2, 2) \).