Сумма: 360 * (2/v + 1 + (v+4)/9).

Краткое пояснение:

Для нахождения наименьшей суммы, необходимо минимизировать функцию общего времени, затраченного обоими велосипедистами на трассе, от скорости Сергея ($$v$$).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Формулировка общей функции времени.
   Общее время на трассе для Сергея: $$T_с = \frac{2}{v} + 0.5 + \frac{v+4}{18}$$.
   Общее время на трассе для Антона: $$T_а = 0.5 + \frac{v+4}{18}$$.
   Общее время обоих: $$T_{общ} = T_с + T_а = \frac{2}{v} + 0.5 + \frac{v+4}{18} + 0.5 + \frac{v+4}{18} = \frac{2}{v} + 1 + 2 \times \frac{v+4}{18} = \frac{2}{v} + 1 + \frac{v+4}{9}$$.
2. Шаг 2: Поиск минимума функции.
   Чтобы найти минимум функции $$f(v) = \frac{2}{v} + 1 + \frac{v+4}{9}$$, найдем её производную по $$v$$ и приравняем к нулю.
   $$f'(v) = -\frac{2}{v^2} + \frac{1}{9}$$.
   Приравниваем к нулю: $$- \frac{2}{v^2} + \frac{1}{9} = 0$$.
   $$\frac{1}{9} = \frac{2}{v^2}$$.
   $$v^2 = 18$$.
   $$v = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ км/ч (скорость Сергея).
   Тогда скорость Антона: $$v+4 = 3\sqrt{2} + 4$$ км/ч.
3. Шаг 3: Расчет общего времени при оптимальной скорости.
   $$v = 3\sqrt{2} ≈ 4.24$$ км/ч.
   $$T_{общ} = \frac{2}{3\sqrt{2}} + 1 + \frac{3\sqrt{2}+4}{9}$$.
   $$T_{общ} = \frac{2\sqrt{2}}{6} + 1 + \frac{3\sqrt{2}}{9} + \frac{4}{9} = \frac{\sqrt{2}}{3} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{4}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{13}{9}$$.
   $$T_{общ} ≈ \frac{2 imes 1.414}{3} + \frac{13}{9} ≈ \frac{2.828}{3} + 1.444 ≈ 0.943 + 1.444 ≈ 2.387$$ часа.
4. Шаг 4: Расчет стоимости.
   Стоимость = $$T_{общ} imes 360$$.
   Стоимость $$≈ 2.387 imes 360 ≈ 859.32$$ рубля.
5. Шаг 5: Проверка граничных условий и целочисленных скоростей.
   В задаче не указано, что скорости должны быть дробными. Часто в таких задачах подразумеваются целые числа. Если предположить, что $$v$$ — целое число.
   Мы уже проверили $$v=5$$ км/ч, что дало $$T_{общ} = 2.4$$ часа и стоимость 864 рубля.
6. Шаг 6: Рассмотрение другого граничного условия.
   Скорость возвращения 9 км/ч. Если предположить, что это скорость Антона, то $$v+4=9$$, $$v=5$$. Это значение, которое мы уже проверяли.
7. Шаг 7: Вывод.
   Минимальная сумма будет достигнута при $$v = 3√2$$, но если скорости должны быть целыми, то $$v=5$$ км/ч дает наименьшую сумму из проверенных целых скоростей. Вероятно, задача подразумевает, что скорость Антона равна 9 км/ч.
   Если скорость Антона = 9 км/ч, то скорость Сергея = 9 - 4 = 5 км/ч.
   Время Сергея до встречи: 2 км / 5 км/ч + 0.5 часа (Антон догнал) = 0.4 + 0.5 = 0.9 часа.
   Расстояние до точки встречи: 9 км/ч * 0.5 часа = 4.5 км.
   Время возвращения: 4.5 км / 9 км/ч = 0.5 часа.
   Общее время Сергея: 0.9 часа (туда) + 0.5 часа (обратно) = 1.4 часа.
   Общее время Антона: 0.5 часа (туда) + 0.5 часа (обратно) = 1 час.
   Стоимость для Сергея: 1.4 часа * 360 руб/час = 504 рубля.
   Стоимость для Антона: 1 час * 360 руб/час = 360 рублей.
   Общая сумма: 504 + 360 = 864 рубля.
8. Шаг 8: Проверка условия «наименьшую сумму».
   Исходя из предыдущих расчетов, 864 рубля — это стоимость, полученная при наиболее вероятном условии (скорость Антона = 9 км/ч). Если бы скорости могли быть любыми действительными числами, то минимум был бы при $$v = 3√2$$, давая стоимость около 859.32 рубля. Однако, для школьных задач обычно предполагаются целые или простые значения.

Ответ: 864 рубля