Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 16 больше её первого члена, а сумма её первых двух членов равна 24. Найти восьмой член этой прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен $$a$$, а знаменатель $$q$$. Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна $$S = \frac{a}{1-q}$$.

По условию задачи:

1. $$S = a + 16 \implies \frac{a}{1-q} = a + 16$$
2. $$a + aq = 24 \implies a(1+q) = 24$$

Из второго уравнения выразим $$a = \frac{24}{1+q}$$. Подставим в первое уравнение:

$$\frac{\frac{24}{1+q}}{1-q} = \frac{24}{1+q} + 16$$

$$\frac{24}{1-q^2} = \frac{24 + 16(1+q)}{1+q}$$

$$24(1+q) = (1-q^2)(24+16+16q)$$

$$24+24q = (1-q)(1+q)(40+16q)$$

$$24+24q = (1-q)(40+16q+40q+16q^2)$$

$$24+24q = (1-q)(16q^2+56q+40)$$

$$24+24q = 16q^2+56q+40 - 16q^3-56q^2-40q$$

$$24+24q = -16q^3 - 40q^2 + 16q + 40$$

$$16q^3 + 40q^2 + 8q - 16 = 0$$

Разделим на 8: $$2q^3 + 5q^2 + q - 2 = 0$$

Подбором находим, что $$q = -2$$ не подходит, так как прогрессия убывающая. Проверим $$q = 1/2$$.

Если $$q = 1/2$$, то $$a = \frac{24}{1+1/2} = \frac{24}{3/2} = 16$$.

Проверим первое условие: $$S = \frac{16}{1-1/2} = \frac{16}{1/2} = 32$$. $$a+16 = 16+16 = 32$$. Условие выполняется.

Найдем восьмой член прогрессии: $$a_8 = a imes q^{8-1} = 16 imes (1/2)^7 = 16 imes \frac{1}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$$.