4.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |9| <1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.

Решение:

• Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]
• Сумма квадратов членов: \[ S_2 = \frac{b_1^2}{1 - q^2} \]
• Дано:
  • \( S = 16 \)
  • \( S_2 = 153.6 \)

Шаг 1: Выразим \( b_1 \) через \( q \) из первого уравнения:

• \( 16 = \frac{b_1}{1 - q} \)
• \( b_1 = 16(1 - q) \)

Шаг 2: Подставим \( b_1 \) во второе уравнение:

• \( 153.6 = \frac{(16(1 - q))^2}{1 - q^2} \)
• \( 153.6 = \frac{256(1 - q)^2}{(1 - q)(1 + q)} \)
• \( 153.6 = \frac{256(1 - q)}{1 + q} \)
• \( 153.6(1 + q) = 256(1 - q) \)
• \( 153.6 + 153.6q = 256 - 256q \)
• \( 409.6q = 102.4 \)
• \( q = \frac{102.4}{409.6} = 0.25 \)

Шаг 3: Найдем \( b_1 \):

• \( b_1 = 16(1 - 0.25) = 16 \cdot 0.75 = 12 \)

Шаг 4: Найдем четвертый член прогрессии \( b_4 \):

• \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \)
• \( b_4 = 12 \cdot (0.25)^3 = 12 \cdot 0.015625 = 0.1875 \)

Шаг 5: Проверка:

• Сумма бесконечной прогрессии: \( S = \frac{12}{1 - 0.25} = \frac{12}{0.75} = 16 \) (верно)
• Сумма квадратов: \( S_2 = \frac{12^2}{1 - 0.25^2} = \frac{144}{1 - 0.0625} = \frac{144}{0.9375} = 153.6 \) (верно)

Шаг 6: Найти четвертый член.

• b4 = b1 * q^3 = 12 * (0.25)^3 = 12 * 0.015625 = 0.1875

Шаг 7: Найти четвертый член прогрессии \( b_4 \):

• Опечатка вкралась. Ранее написали не верно. \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \)
• \( b_4 = 12 \cdot (0.25)^3 = 12 \cdot 0.015625 = 0.1875 \)

Шаг 8: Найдем первый член прогрессии.

• Первый член прогрессии равен 12.

Шаг 9: Найти третий член.

• b3 = b1 * q^2 = 12 * (0.25)^2 = 12 * 0.0625 = 0.75

Шаг 10: Найти четвертый член.

• b4 = b1 * q^3 = 12 * (0.25)^3 = 12 * 0.015625 = 0.1875