Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 5, а сумма квадратов той же прогрессии равна 83. Найдите прогрессию. Запишите в ответ три её первых члена.

Решение:

Пусть первый член прогрессии равен \( b_1 \), а знаменатель равен \( q \). Тогда сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна:

\[S = \frac{b_1}{1 - q}\]

Сумма квадратов членов этой же прогрессии равна:

\[S_2 = \frac{b_1^2}{1 - q^2}\]

По условию задачи:

\[\begin{cases} \frac{b_1}{1 - q} = 5 \\ \frac{b_1^2}{1 - q^2} = 8\frac{1}{3} \end{cases}\]

Выразим из первого уравнения \( b_1 \):

\[b_1 = 5(1 - q)\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[\frac{(5(1 - q))^2}{1 - q^2} = \frac{25}{3}\] \[\frac{25(1 - q)^2}{(1 - q)(1 + q)} = \frac{25}{3}\]

Сократим на \( 25(1 - q) \):

\[\frac{1 - q}{1 + q} = \frac{1}{3}\]

Решим уравнение относительно \( q \):

\[3(1 - q) = 1 + q\] \[3 - 3q = 1 + q\] \[4q = 2\] \[q = \frac{1}{2} = 0.5\]

Теперь найдем первый член прогрессии \( b_1 \):

\[b_1 = 5(1 - q) = 5(1 - 0.5) = 5 \cdot 0.5 = 2.5\]

Три первых члена прогрессии:

\[b_1 = 2.5\] \[b_2 = b_1 \cdot q = 2.5 \cdot 0.5 = 1.25\] \[b_3 = b_2 \cdot q = 1.25 \cdot 0.5 = 0.625\]

Ответ: 2.5; 1.25; 0.625