Сумма двух чисел равна 11, а сумма их квадратов равна Найдите эти числа.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим искомые числа как x и y. Составим систему уравнений согласно условию:
   \( x + y = 11 \)
   \( x^{2} + y^{2} = 65 \)
2. Шаг 2: Из первого уравнения выразим y:
   \( y = 11 - x \)
3. Шаг 3: Подставим выражение для y во второе уравнение:
   \( x^{2} + (11 - x)^{2} = 65 \)
   \( x^{2} + (121 - 22x + x^{2}) = 65 \)
   \( 2x^{2} - 22x + 121 - 65 = 0 \)
   \( 2x^{2} - 22x + 56 = 0 \)
4. Шаг 4: Разделим все члены уравнения на 2:
   \( x^{2} - 11x + 28 = 0 \)
5. Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \( D = (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9 \)
6. Шаг 6: Найдем корни уравнения:
   \( x_{1} = \frac{11 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
   \( x_{2} = \frac{11 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
7. Шаг 7: Найдем соответствующие значения y:
   Если x = 7, то y = 11 - 7 = 4.
   Если x = 4, то y = 11 - 4 = 7.

Ответ: Числа 4 и 7.