Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 110°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

Пусть углы при одном основании равны \( \alpha \), а углы при другом основании равны \( \beta \). В равнобедренной трапеции \( \alpha = \alpha \) и \( \beta = \beta \).

Условие гласит, что сумма двух углов трапеции равна 110°. Возможны два случая:

1. Сумма двух равных углов при одном основании: \( 2\alpha = 110° \). Тогда \( \alpha = 110° / 2 = 55° \). Поскольку \( \alpha \) — угол при основании, то \( \alpha < 90° \). Значит, это острый угол.
2. Сумма смежных углов при боковой стороне: \( \alpha + \beta = 110° \). Мы знаем, что \( \alpha + \beta = 180° \) для трапеции. Это противоречие, значит, этот случай невозможен.
3. Сумма двух углов, один из которых острый, а другой тупой: \( \alpha + \beta = 110° \). Но в равнобедренной трапеции сумма углов при боковой стороне должна быть 180°. Этот случай невозможен.
4. Сумма двух углов, один острый, один тупой, но не при одной боковой стороне. Например, \( \alpha + \beta = 110° \). Но это невозможно, потому что в равнобедренной трапеции либо \( \alpha = \alpha \) или \( \beta = \beta \) (при одном основании), либо \( \alpha + \beta = 180° \) (при боковой стороне).

Единственный случай, когда сумма двух углов равна 110°, это когда сумма двух острых углов равна 110°. Значит, каждый из этих углов равен \( 110° / 2 = 55° \).

Углы при другом основании будут тупыми и равны \( 180° - 55° = 125° \).

Таким образом, углы трапеции: 55°, 55°, 125°, 125°.

Меньший угол равен 55°.

Ответ: 55