26. Сумма двух углов ромба равна 120°, а его периметр равен 52. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Пусть дан ромб ABCD, периметр которого равен 52, то есть

$$P=4a=52$$, где $$a$$ - сторона ромба.

Отсюда, сторона ромба равна:

$$a=\frac{52}{4}=13$$.

Сумма двух углов ромба равна $$120°$$, значит, каждый из этих углов равен:

$$\frac{120°}{2}=60°$$.

Так как углы, прилежащие к одной стороне ромба, в сумме составляют $$180°$$, то больший угол ромба равен:

$$180°-60°=120°$$.

Меньшая диагональ ромба лежит против меньшего угла, то есть против угла в $$60°$$. Рассмотрим треугольник ABD, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю BD.

Так как $$AB=AD$$, то треугольник ABD - равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольника равны. Найдем углы при основании:

$$\angle ABD=\angle ADB = \frac{180°-60°}{2}=60°$$.

Получаем, что все углы треугольника ABD равны $$60°$$, следовательно, треугольник ABD - равносторонний, а значит, $$BD=AB=AD=13$$.

Ответ: 13