Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице А = [[2, 2, 1], [1, 3, 1], [1, 0, 0]] равна ...

Решение:

Для нахождения суммы элементов второй строки обратной матрицы, сначала найдём обратную матрицу к данной матрице A.

Шаг 1: Находим определитель матрицы A.

\[ \det(A) = 2(3 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - 2(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 0 - 3 \cdot 1) \]

\[ \det(A) = 2(0) - 2(0 - 1) + 1(0 - 3) \]

\[ \det(A) = 0 - 2(-1) + (-3) = 2 - 3 = -1 \]

Так как определитель не равен нулю, обратная матрица существует.

Шаг 2: Находим матрицу алгебраических дополнений.

C_11 = (-1)^{1+1} \(\begin{vmatrix}\) 3 & 1 \\ 0 & 0 \(\end{vmatrix}\) = 1(0 - 0) = 0

C_12 = (-1)^{1+2} \(\begin{vmatrix}\) 1 & 1 \\ 1 & 0 \(\end{vmatrix}\) = -1(0 - 1) = 1

C_13 = (-1)^{1+3} \(\begin{vmatrix}\) 1 & 3 \\ 1 & 0 \(\end{vmatrix}\) = 1(0 - 3) = -3

C_21 = (-1)^{2+1} \(\begin{vmatrix}\) 2 & 1 \\ 0 & 0 \(\end{vmatrix}\) = -1(0 - 0) = 0

C_22 = (-1)^{2+2} \(\begin{vmatrix}\) 2 & 1 \\ 1 & 0 \(\end{vmatrix}\) = 1(0 - 1) = -1

C_23 = (-1)^{2+3} \(\begin{vmatrix}\) 2 & 2 \\ 1 & 0 \(\end{vmatrix}\) = -1(0 - 2) = 2

C_31 = (-1)^{3+1} \(\begin{vmatrix}\) 2 & 1 \\ 3 & 1 \(\end{vmatrix}\) = 1(2 - 3) = -1

C_32 = (-1)^{3+2} \(\begin{vmatrix}\) 2 & 1 \\ 1 & 1 \(\end{vmatrix}\) = -1(2 - 1) = -1

C_33 = (-1)^{3+3} \(\begin{vmatrix}\) 2 & 2 \\ 1 & 3 \(\end{vmatrix}\) = 1(6 - 2) = 4

Матрица алгебраических дополнений C:

\[ C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Находим присоединённую матрицу (транспонируем матрицу C).

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T \]

\[ C^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Находим обратную матрицу A⁻¹.

\[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & -4 \end{pmatrix} \]

Шаг 5: Находим сумму элементов второй строки обратной матрицы.

Вторая строка обратной матрицы: -1, 1, 1.

Сумма элементов: -1 + 1 + 1 = 1.

Ответ: 1