Сумма некоторого положительного числа и числа, ему обратного, в 1,7 раза меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Ответ:

\[Пусть\ x - некоторое\ число,\ \]

\[тогда\ \frac{1}{x} - обратное\ ему\ число.\]

\[x + \frac{1}{x} - сумма\ этих\ чисел;\]

\[x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - сумма\ квадратов\ \]

\[этих\ чисел,\ которая\ в\ 1,7\ раз\ \]

\[больше\ суммы\ чисел.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[1,7 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\]

\[1,7 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) =\]

\[= \left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 - 2 \right)\]

\[1,7 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = \left( x + \frac{1}{x} \right)^{2} - 2\]

\[Пусть\ \left( x + \frac{1}{x} \right) = a:\]

\[1,7a = a^{2} - 2\]

\[a^{2} - 1,7a - 2 = 0\ \ \ \ \ \ | \cdot 10\]

\[10a^{2} - 17a - 20 = 0\]

\[D = 289 + 800 = 1089\]

\[a_{1} = \frac{17 + 33}{20} = \frac{50}{20} = 2,5;\ \ \ \ \]

\[a_{2} = \frac{17 - 33}{20} = - \frac{16}{20} = - 0,8.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x + \frac{1}{x} = 2,5\ \ \ \ \ | \cdot 2x\]

\[2x^{2} + 2 - 5x = 0\]

\[2x^{2} - 5x + 2 = 0\]

\[D = 25 - 16 = 9\]

\[x_{1} = \frac{5 + 3}{4} = 2;\ \ \ \]

\[\ x_{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5.\]

\[2)\ x + \frac{1}{x} = - 0,8\ \ \ \ \ \ | \cdot 5x\]

\[5x^{2} + 5 + 4x = 0\]

\[5x^{2} + 4x + 5 = 0\]

\[D = 16 - 100 = - 84 < 0\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:x = 0,5;\ \ x = 2.\]