Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 21. Если второе число уменьшить на единицу, а третье увеличить на единицу, то получатся три числа, образующие геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение:

Пусть три числа, составляющие арифметическую прогрессию, будут \(x - d\), \(x\), \(x + d\).

По условию, их сумма равна 21:

\((x - d) + x + (x + d) = 21\)

\(3x = 21\)

\(x = 7\)

Итак, исходные числа имеют вид \(7 - d\), 7, \(7 + d\).

Если второе число уменьшить на единицу, а третье увеличить на единицу, то получатся числа:

\(7 - d - 1\) = \(6 - d\)

\(7\)

\(7 + d + 1\) = \(8 + d\)

Эти три числа образуют геометрическую прогрессию. По определению геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

\(7^2 = (6 - d)(8 + d)\)

\(49 = 48 + 6d - 8d - d^2\)

\(49 = 48 - 2d - d^2\)

\(d^2 + 2d - 1 = 0\)

Решим квадратное уравнение относительно \(d\) с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8\]

\(d = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \(d = -1 + \sqrt{2}\)

Первое число: \(7 - d = 7 - (-1 + \sqrt{2}) = 7 + 1 - \sqrt{2} = 8 - \sqrt{2}\)

Второе число: \(7\)

Третье число: \(7 + d = 7 + (-1 + \sqrt{2}) = 7 - 1 + \sqrt{2} = 6 + \sqrt{2}\)

Случай 2: \(d = -1 - \sqrt{2}\)

Первое число: \(7 - d = 7 - (-1 - \sqrt{2}) = 7 + 1 + \sqrt{2} = 8 + \sqrt{2}\)

Второе число: \(7\)

Третье число: \(7 + d = 7 + (-1 - \sqrt{2}) = 7 - 1 - \sqrt{2} = 6 - \sqrt{2}\)

Ответ: исходные числа — \(8 - \sqrt{2}\), 7, \(6 + \sqrt{2}\) или \(8 + \sqrt{2}\), 7, \(6 - \sqrt{2}\).