Сумма целых решений неравенства 9 · (2/3)^(x-5) + 4 · (1.5)^(x-5) <= 13 равна.....

Преобразование неравенства:

• Представим 1,5 как 3/2.
• Заменим 3/2 на (2/3)^(-1).
• Получим: \( 9 · (2/3)^{x-5} + 4 · (2/3)^{-(x-5)} ≤ 13 \).
• Обозначим \( y = (2/3)^{x-5} \).
• Тогда неравенство примет вид: \( 9y + 4/y ≤ 13 \).
• Умножим на \( y \) (так как \( y > 0 \)): \( 9y^2 + 4 ≤ 13y \).
• Перенесем все в одну сторону: \( 9y^2 - 13y + 4 ≤ 0 \).

Решение квадратного неравенства:

• Найдем корни уравнения \( 9y^2 - 13y + 4 = 0 \).
• Дискриминант \( D = (-13)^2 - 4 · 9 · 4 = 169 - 144 = 25 \).
• \( y_1 = (13 - 5) / (2 · 9) = 8 / 18 = 4/9 \).
• \( y_2 = (13 + 5) / (2 · 9) = 18 / 18 = 1 \).
• Так как парабола \( 9y^2 - 13y + 4 \) направлена ветвями вверх, то \( 9y^2 - 13y + 4 ≤ 0 \) при \( 4/9 ≤ y ≤ 1 \).

Обратная замена:

• \( 4/9 ≤ (2/3)^{x-5} ≤ 1 \).
• Представим 4/9 как (2/3)^2 и 1 как (2/3)^0.
• \( (2/3)^2 ≤ (2/3)^{x-5} ≤ (2/3)^0 \).
• Так как основание степени (2/3) меньше 1, при переходе от показателя к основанию знак неравенства меняется на противоположный.
• \( 0 ≤ x-5 ≤ 2 \).
• Прибавим 5 ко всем частям неравенства: \( 5 ≤ x ≤ 7 \).

Нахождение суммы целых решений:

• Целые решения неравенства: x = 5, x = 6, x = 7.
• Сумма целых решений: \( 5 + 6 + 7 = 18 \).

Ответ: 18