Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Пусть ABCD — трапеция, причём AB ∥ CD, а сумма углов при основании AB равна 90°: \(\angle A+\angle B=90^\circ\). Обозначим через \(h\) высоту трапеции.

Опустим из вершин C и D перпендикуляры на основание AB. Пусть соответствующие горизонтальные отрезки равны \(x\) и \(y\). Тогда из прямоугольных треугольников:

\(\tan \angle A=\dfrac{h}{x}\), \(\tan \angle B=\dfrac{h}{y}\).

Так как \(\angle A+\angle B=90^\circ\), то \(\tan\angle A\cdot\tan\angle B=1\). Следовательно,

\[\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{y}=1,\qquad h^2=xy.\]

Разность оснований равна сумме горизонтальных отрезков:

\[AB-CD=x+y.\]

Пусть M и N — середины оснований AB и CD. Горизонтальная составляющая отрезка MN равна \(\dfrac{x-y}{2}\), а вертикальная составляющая равна \(h\). Поэтому по теореме Пифагора:

\[MN^2=h^2+\left(\frac{x-y}{2}\right)^2.\]

Подставим \(h^2=xy\):

\[MN^2=xy+\frac{(x-y)^2}{4}=\frac{4xy+x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x+y)^2}{4}.\]

Значит,

\[MN=\frac{x+y}{2}=\frac{AB-CD}{2}.\]

Ответ: отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований трапеции.