summa-uglov.docx summa-uglov.pdf 1. Один из углов треугольника в три раза больше второго и на 23° больше третьего. Найти углы треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике СОД с основанием СД проведена биссектриса СК. «СКД-99°. Найти углы треугольника СОД. 3. В равнобедренном треугольнике СОД с основанием СД проведены две биссектрисы СК и ДМ, которые пересекаются в точке В. СОД=68°. Найти углы треугольника СВД.

Разберем каждое задание:

1. Пусть углы треугольника равны $$x$$, $$y$$, и $$z$$. Из условия задачи составим систему уравнений:

   • $$x = 3y$$
   • $$x = z + 23$$
   • $$x + y + z = 180$$

   Выразим $$y$$ и $$z$$ через $$x$$:

   • $$y = \frac{x}{3}$$
   • $$z = x - 23$$

   Подставим в третье уравнение:

   $$x + \frac{x}{3} + x - 23 = 180$$

   $$2x + \frac{x}{3} = 203$$

   $$\frac{7x}{3} = 203$$

   $$x = \frac{203 \cdot 3}{7} = 29 \cdot 3 = 87$$

   Теперь найдем $$y$$ и $$z$$:

   • $$y = \frac{87}{3} = 29$$
   • $$z = 87 - 23 = 64$$

   Проверим: $$87 + 29 + 64 = 180$$.

   Ответ: 87°, 29°, 64°

2. В равнобедренном треугольнике $$COD$$ основание $$CD$$, $$CK$$ - биссектриса, $$∠CKD = 99°$$. Так как $$CK$$ - биссектриса, то $$∠OCK = ∠DCK$$.

   Рассмотрим треугольник $$CKD$$. Сумма углов треугольника равна 180°, значит:

   $$∠CDK + ∠DCK + ∠CKD = 180°$$

   $$∠CDK + ∠DCK = 180° - 99° = 81°$$

   Так как треугольник $$COD$$ равнобедренный, то $$∠OCD = ∠CDO$$. Тогда, $$∠CDO = ∠CDK = 81°$$. Значит, $$∠DCK = 81°$$.

   Поскольку $$CK$$ - биссектриса, то $$∠OCD = ∠DCK = 81°$$. Значит, $$∠COD = 180° - 81° - 81° = 18°$$.

   Ответ: 81°, 81°, 18°

3. В равнобедренном треугольнике $$СОД$$ с основанием $$СД$$ проведены две биссектрисы $$СК$$ и $$ДМ$$, которые пересекаются в точке $$В$$. $$∠СОД = 68°$$.

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит,

   $$∠ОСД = ∠ОДС = (180° - 68°) / 2 = 112° / 2 = 56°$$

   Так как $$СК$$ и $$ДМ$$ - биссектрисы, то они делят углы пополам. Значит,

   $$∠ДСК = ∠ОСД / 2 = 56° / 2 = 28°$$

   $$∠СДМ = ∠ОДС / 2 = 56° / 2 = 28°$$

   Рассмотрим треугольник $$СВД$$. В нем:

   $$∠ДСВ = ∠ДСК = 28°$$

   $$∠СДВ = ∠СДМ = 28°$$

   Тогда

   $$∠СВД = 180° - ∠ДСВ - ∠СДВ = 180° - 28° - 28° = 124°$$

   Ответ: 28°, 28°, 124°