Существует ли треугольник, все внешние углы которого острые?

Нет, такого треугольника не существует. Внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Так как в треугольнике сумма внутренних углов равна 180°, то хотя бы один из внутренних углов будет острым, а его внешний угол — тупым. Таким образом, все внешние углы треугольника не могут быть острыми.