Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) 1980°; б) 900°; в)2150°.

Решение:

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \( (n-2) \cdot 180^{\circ} \). Эта сумма всегда должна быть кратна 180°. Проверим каждое условие:

1. а) 1980°
   \( (n-2) \cdot 180^{\circ} = 1980^{\circ} \)
   \( n-2 = \frac{1980}{180} = 11 \)
   \( n = 11 + 2 = 13 \).
   Так как \( n=13 \) — целое число больше 3, такой многоугольник существует (тринадцатиугольник).
2. б) 900°
   \( (n-2) \cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} \)
   \( n-2 = \frac{900}{180} = 5 \)
   \( n = 5 + 2 = 7 \).
   Так как \( n=7 \) — целое число больше 3, такой многоугольник существует (семиугольник).
3. в) 2150°
   \( (n-2) \cdot 180^{\circ} = 2150^{\circ} \)
   \( n-2 = \frac{2150}{180} \)
   \( \frac{2150}{180} = \frac{215}{18} \) — не целое число. Следовательно, такого многоугольника не существует.

Ответ: а) существует (13-угольник); б) существует (7-угольник); в) не существует.